Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率，點是橢圓上的一個動點，面積的最大值是．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知點，問是否存在直線與橢圓交于兩點，且，若存在，求出直線斜率的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，．

【解析】

（1）根據焦點三角形面積最大時與短軸端點重合可得的值，與離心率和橢圓一起構造方程組，可求得的值，進而得到橢圓方程；

（2）假設存在直線滿足題意，將直線與橢圓方程聯立，由可得到滿足的不等式；設中點為，由線段長相等可知，得到，由此可求得，代入滿足的不等式可解不等式求得的范圍.

（1）當與橢圓短軸端點重合時，面積最大

又，，解得：，

橢圓的方程為：

（2）假設存在滿足題意的直線，設直線，，

將與橢圓方程聯立消去得：

則 …①

，

設中點，則，

即，整理可得：

將代入①可得：，即

解得：

存在滿足題意的直線，其斜率的取值范圍為