Question

【題目】已知函數.

(1)求時，求的單調區間；

(2)討論在定義域上的零點個數.

Answer 1

【答案】(1)增區間是，單調遞減區間是.(2)當時，函數沒有零點，當或時函數有1個零點；當時函數有2個零點.

【解析】試題分析：（1）將代入，求出函數的導數， ，得單調遞增區間是，由，單調遞減區間是；（2）通過討論的范圍，分別利用導數研究函數函數的單調性，求出函數的極值，從而得到的范圍.

試題解析：(1) 在定義域是， .

當時， .

當時， ，當時，由，

所以單調遞增區間是，單調遞減區間是.

(2)∵.

(i)當時， ， 在區間上單調遞減，

當時， ，當時， ，

所以在區間上只有一個零點.

(ii)當時， 恒成立，

所以在區間上沒有零點.

(iii)當時，當時， ， 在區間上單調遞增；

當時， ， 在區間上單調遞減，

所以當時， 取極大值.

①當時，極大值，

在區間上有1個零點.

②當時，極大值，

在區間上沒有零點.

③當時，極大值，

當時， ，當時， ，

所以在區間上有2個零點，

綜上所述，當時，函數沒有零點，當或時函數有1個零點；當時函數有2個零點.