Question

【題目】現有m個（）實數，它們滿足下列條件：①，

②記這m個實數的和為，

即.

（1）若，證明： ；

（2）若m=5，滿足題設條件的5個實數構成數列.設C為所有滿足題設條件的數列構成的集合.集合，求A中所有正數之和；

（3）對滿足題設條件的m個實數構成的兩個不同數列與，證明： .

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)256；(3)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）由為等比數列可得或，當時，數列前項和在各項取正數時取最大值，經計算的最大值為不滿足題意，而當時，同理計算的最小值為，滿足題意；（2）結合（1）中結論，而， ，共種情形，根據其規律得A中正數之和為；（3）不失一般性設使得， ， ， ，…，計算得結論成立.

試題解析：（1）證明：由題意知， ，所以或.

當時，數列前項和在各項取正數時取最大值，所以的最大值為

.不合題意，舍去.

當時，

.

所以， .

（2）解：若，由（I）知， .由題意知， .所以滿足題意的所有數列為1,2,4,8,16；-1,2,4,8,16；1，-2,4,8,16；1,2，-4,8,16；…共16個.在這16個數列中，除最后一項外，其他各項正、負各取8次，求和時正負相抵.從而，A中正數之和為16×16=256.

（3）證明：設使得， ， ， ，…，則

，所以.