Question

已知數列中，其中為數列的前項和，并且（，.
（1）設（），求證：數列是等比數列；
（2）設數列（），求證：數列是等差數列；
（3）求數列的通項公式和前項.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3），.

解析試題分析：（1）首先條件中如何處理，通常要歸一，即一是轉化為相鄰三項的關系；二是轉化為和之間的關系，這里是轉化為相鄰三項的關系，接下來根據等比數列的定義，易得數列是等比數列；（2）根據等差數列的定義，結合（1）不難證明數列是等比數列；（3）有了（1）（2）的鋪墊很容易求得數列的通項公式，對照通項公式的特點：它是由一個等差數列與一個等比數列對應項相乘得到的，故用錯位相減法求數列的.
試題解析：（1）證明：，，兩式相減得 --3分
即，變形得
設，則有（），又，，
從而，由此可知，數列是公比為2的等比數列.
（2）證明：由（1）知
， 
將代入得（）
由此可知，數列是公差為，首項的等差數列，
故（）.
（3）由（2）可知：，


兩式錯位相減：
所以 
考點：數列中的遞推關系式處理及轉化數學思想的使用.