Question

【題目】已知方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，
（1）若方程C表示圓，求實數m的范圍；
（2）在方程表示圓時，該圓與直線l：x+2y﹣4=0相交于M、N兩點，且|MN|= ，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圓，

∴D2+E2﹣4F＞0，

即4+16﹣4m＞0解得m＜5，

∴實數m的取值范圍是（﹣∞，5）．

（2）解：∵方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，

∴（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，

圓心（1，2）到直線x+2y﹣4=0的距離d= = ，

∵圓與直線l：x+2y﹣4=0相交于M、N兩點，且|MN|= ，

∴ ，

解得m=4．

【解析】（1）由圓的一般方程的定義知4+16﹣4m＞0，由此能法語出實數m的取值范圍．（2）求出圓心到直線x+2y﹣4=0的距離，由此利用已知條件能求出m的值．