Question

【題目】已知函數.

（1）求的單調區間；

（2）若不等式在時恒成立，求實數的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）求得函數的定義域與導數，分析導數的符號變化，由此可得出函數的單調遞增區間和遞減區間；

（2）令，由題意可得對任意的恒成立，對實數的取值進行分類討論，利用導數分析函數的單調性，結合可得出實數的取值范圍.

（1）函數的定義域為，.

當時，對任意的恒成立，

此時，函數的單調遞增區間為；

當時，令，可得.

當時，；當時，.

此時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

綜上所述，當時，函數的單調遞增區間為；

當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；

（2）設，則，

，，

則函數在區間上單調遞增，當時，，

所以，函數在區間上單調遞增，則.

①當時，即當時，對任意的恒成立，

所以，函數在區間上單調遞增，當時，，合乎題意；

②當時，即當時，由于函數在區間上單調遞增，

且，

由零點存在定理可知，存在，使得，

當時，；當時，.

此時，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為，

所以，，不合乎題意.

綜上所述，實數的取值范圍是.