Question

【題目】已知函數有兩個不同的極值點.

（Ⅰ）求實數a的取值范圍；

（Ⅱ）若對任意存在使得成立，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）求得，令，得到，設，

利用導數求得函數的單調性與最值，列出不等式組，即可求解；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得到，把對任意，存在，使得成立，轉化為，化簡，

令，利用導數求得函數的單調性與極值，即可求解.

（Ⅰ）由函數，則，

令，可得，

設，則，

令，解得，

列表如下：

	+	0	-
	單調遞增		單調遞減

所以的極大值為，

又因為，

所以函數有兩個不同的極值點等價于，解得，

因此實數的取值范圍為；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故，

設的較大零點為，則，

且，；，，

所以在上單調遞增，在上單調遞減，

從而有最大值為，

又當時，，故可設函數的值域為，其中，

由題意：對任意，存在，使得成立，

等價于，

而，且，

所以，，

令，則，

所以在上單調遞減，

所以，故，

因此.