Question

【題目】已知函數，.

（1）討論的單調性；

（2）若有兩個極值點、，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）求出函數的定義域和導數，對實數的取值進行分類討論，利用導數分析導函數的符號變化，由此可得出函數的單調遞增區間和遞減區間；

（2）由（1）可知、是關于的二次方程的兩根，利用韋達定理可將表示為以為自變量的函數，換元，可得出，令，利用導數求出函數在上的值域，由此可得解.

（1）函數的定義域為，

，令.

當，即時，，則對任意的恒成立，

此時函數在上單調遞增；

當時，對任意的恒成立，

此時函數在上單調遞增；

當時，有兩個正根，分別為，，

當或時，；當時，.

此時函數在，上單調遞增，在上單調遞減.

綜上可得：當時，函數的單調遞增區間是，無遞減區間；

當時，函數的單調遞增區間是，，

單調遞減區間是；

（2）由（1）可知、是關于的二次方程的兩根，

由韋達定理可得，，，，，

，，，

，

令，則，設，

，

當時，，當時，.

所以，函數在單調遞增，在單調遞減，

，

因此，的取值范圍是.