Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），曲線的參數方程為（為參數），在以為極點， 軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線，與， 各有一個交點，當時，這兩個交點間的距離為2，當，這兩個交點重合．

（1）分別說明， 是什么曲線，并求出與的值；

（2）設當時， 與， 的交點分別為，當， 與， 的交點分別為，求四邊形的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）有曲線的參數方程為（為參數），曲線的參數方程為

（為參數），消去參數的是圓， 是橢圓，并利用．當時，這兩個交點間的距離為，當時，這兩個交點重合，求出及．（2）利用的普通方程，當時， 與的交點分別為，當時， 與的交點為，利用面積公式求出面積．

試題解析：（1）是圓， 是橢圓．

當時，射線與， 交點的直角坐標分別是因為這兩點間的距離為2，所以

當，射線與， 交點的直角坐標分別是因為這兩點重合，所以；

（2）， 的普通方程為

當時，射線與交點的橫縱表是，與交點的橫坐標是

當時，射線與， 的兩個交點分別與交點關于軸對稱，因此四邊形為梯形，故四邊形的面積為．