Question

【題目】已知函數f（x）的定義域為實數集R，及整數k、T；
（1）若函數f（x）=2xsin（πx），證明f（x+2）=4f（x）；
（2）若f（x+T）=kf（x），且f（x）=axφ（x）（其中a為正的常數），試證明：函數φ（x）為周期函數；
（3）若f（x+6）= f（x），且當x∈[﹣3，3]時，f（x）= （x2﹣9），記Sn=f（2）+f（6）+f（10）+…+f（4n﹣2），n∈N+ ， 求使得S1、S2、S3、…、Sn小于1000都成立的最大整數n．

Answer 1

【答案】
（1）證明：f（x+2）=2x+2sin（π（x+2））=4×2xsin（πx）=4f（x），

∴f（x+2）=4f（x）．

（2）證明：設k=aT，a=k﹣T．而φ（x）=a﹣xf（x），

∴φ（x+T）=a﹣x﹣Tf（x+T）=a﹣x﹣TaTf（x）=a﹣xf（x）=φ（x），

∴φ（x）是以T為周期的周期函數

（3）解：取n=3k（k∈N*），令Sn=Rk．則Rk=f（2）+f（6）+f（10）+…+f（2k﹣10）+f（12k﹣6）+f（12k﹣2），

又f（0）=0．而f（x+6）= f（x），

∴f（6k）=0，又Rk=f（2）+f（10）+…+f（2k﹣10）+f（12k﹣2），

而f（2）=﹣1，f（10）= f（4）=2f（﹣2）=2．

又f（12（k+1）﹣10）+f（12（k+1）﹣2）=2[f（12k﹣10）+f（12k﹣2）]，

∴數列{f（12k﹣10）+f（12k﹣2）}是以f（2）+f（10）=1為首項，2為公比的等比數列，

∴Rk=2k﹣1，

由Rk＜1000，解得9＜k＜10，即n=28，29．

當n=28時，f（110）＜0；n=29時，f（114）=0．

∴滿足條件的最大正整數n=29

【解析】（1）代入計算即可證明．（2）設k=aT ， a=k﹣T ． 而φ（x）=a﹣xf（x），可得φ（x+T）=φ（x），即可證明．（3）取n=3k（k∈N*），令Sn=Rk ． 則Rk=f（2）+f（6）+f（10）+…+f（2k﹣10）+f（12k﹣6）+f（12k﹣2），又f（0）=0．而f（x+6）= f（x），可得f（6k）=0，而f（2）=﹣1，f（10）=2．可得：f（12（k+1）﹣10）+f（12（k+1）﹣2）=2[f（12k﹣10）+f（12k﹣2）]，利用等比數列的前n項和公式即可得出．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數列的前n項和的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．