Question

設函數f（x）=

2

3x+5

+lg

3-2x

3+2x

，
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）判斷函數f（x）的單調性，并給出證明；
（3）已知函數f（x）的反函數f^-1（x），問函數y=f^-1（x）的圖象與x軸有交點嗎？若有，求出交點坐標；若無交點，說明理由．

Answer 1

分析：（1）讓分母不為0且真數大于0求解即可．
（2）把f（x）分成兩個函數，分別求單調性，再利用復合函數的單調性即可．
（3）利用函數與其反函數之間定義域與值域的關系，把函數y=f^-1（x）的圖象與x軸有無交點的問題轉化為f（x）與y軸的交點問題即可．

解答：解：（1）由3x+5≠0且

3-2x

3+2x

＞0，解得x≠-

5

3

且-

3

2

＜x＜

3

2

．取交集得-

3

2

＜x＜

3

2

．
（2）令μ（x）=3x+5，隨著x增大，函數值減小，所以在定義域內是減函數；

3-2x

3+2x

=-1+

6

3+2x

隨著x增大，函數值減小，所以在定義域內是減函數．
又y=lgx在定義域內是增函數，根據復合函數的單調性可知，y=lg

3-2x

3+2x

是減函數，所以f（x）=

2

3x+5

+lg

3-2x

3+2x

是減函數．
（3）因為直接求f（x）的反函數非常復雜且不易求出，于是利用函數與其反函數之間定義域與值域的關系求解．
設函數f（x）的反函數f^-1（x）與x軸的交點為（x₀，0）．根據函數與反函數之間定義域與值域的關系可知，f（x）與y軸的交點是（0，x₀），將（0，x₀）代入f（x），解得x₀=

2

5

．
所以函數y=f^-1（x）的圖象與x軸有交點，交點為（

2

5

，0）．

點評：本題綜合考查了函數的定義域，單調性和互為反函數的兩函數之間的關系．在求復合函數的單調性時，遵循的原則是單調性相同復合函數為增函數，單調性相反復合函數為減函數．