Question

【題目】已知函數，，且.

（1）若為整數，且，試確定一個滿足條件的的值；

（2）設的反函數為，若，試確定的取值范圍；

（3）若，此時的反函數為，令，若對一切實數，，，不等式恒成立，試確定實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）2 （2） （3）

【解析】

（1）將代入方程,結合指數式與對數式的轉化,即可的關于的方程,化簡后即可求得一個的值.

（2）根據所給,可求得反函數解析式.根據不等式,先求得右端的最小值及相應的,將代入左段并解不等式即可求得的取值范圍

（3）代入可得反函數解析式.將反函數解析代入,即可求得的解析式.利用換元法,將化為的表達式.結合反比例函數單調性及不等式,即可求得的取值范圍.

（1）為整數, 且.且

代入可得

即

化簡可得

則

所以

故滿足條件的的值可以是

（2）的反函數為

則

令,代入可得

則,

所以平方化簡可得

所以

則

成立,則即可

令,令,

即,由打勾函數圖像與性質可知當時為單調遞增函數

所以當時

則不等式化為

即,且且.

化簡可得

即,解得

綜上可知,的取值范圍為

（3）由（2）可知

當時,

代入

可得

令

則

當,即時,函數在上單調遞增

所以此時的值域為

若滿足對一切實數,,,不等式恒成立

則只需即可,解得

當,即時, ,不等式恒成立

當時,即.函數在上單調遞減

此時函數的值域為

若滿足對一切實數,,,不等式恒成立

則只需,解不等式可得

綜上所述, 的取值范圍為