Question

【題目】設函數．

（1）求的單調區間；

（2）若為整數, 且當時,, 求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）若，增區間為，若，減區間為,增區間為；（2）．

【解析】

試題分析：（1）利用導數工具，結合分類討論思想對進行分類討論；（2）由,代入原不等式后可將原命題轉化為：當時, ，令, 從而原命題可轉化為,然后利用導數工具求．

試題解析：（1）函數的定義域是,若,則,

所以函數在上單調遞增．若, 則當時,; 當時,; 所以, 在單調遞減,

在單調遞增．

（2）由于,所以,故當時, 等價于 ① 令,

則,由（1）知,當時, 函數在

上單調遞增, 而在上存在唯一的零點, 故

在上存在唯一的零點, 設此零點為,則有,當時,;

當時,; 所以在上的最小值為,又由,可得

,由于 ①式等價于,故整數的最大值為．