Question

【題目】在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，是的中點．

（1）證明：平面；

（2）設是線段上的動點，當點到平面距離最大時，求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）連接與交于，連接，證明即可得證線面平行；

（2）首先證明平面(只要取中點，可證平面，從而得，同理得),因此點到直線的距離即為點到平面的距離，由平面幾何知識易得最大值，然后可計算體積．

（1）證明：連接與交于，連接，

因為是菱形，所以為的中點，

又因為為的中點，

所以，

因為平面平面，

所以平面．

（2）解：取中點，連接，

因為四邊形是菱形，，且，

所以，又，

所以平面，又平面，

所以．

同理可證：，又，

所以平面，

所以平面平面，

又平面平面，

所以點到直線的距離即為點到平面的距離，

過作直線的垂線段，在所有垂線段中長度最大為，

因為為的中點，故點到平面的最大距離為1，

此時，為的中點，即，

所以，

所以．