Question

【題目】已知函數的圖象在點處的切線方程為．

（1）當時，證明：；

（2）設函數，當時，證明：；

（3）若數列滿足：，，．證明：．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析．

【解析】

（1）由已知結合導數的幾何意義可求，然后結合導數可求函數的單調性，進而可求的范圍；

（2）先對求導，結合導數及（1）的結論可求函數的范圍，即可證；

（3）結合（1）（2）的結論，結合對數的運算性質可證．

解：（1）由題知：，

所以，

所以，令，則，

當時，，在區間上單調遞增；

當時，，在區間上單調遞減；

所以，即

所以在區間上單調遞減，

所以

又因為，所以，

所以

綜上知：當時，

（2）由題意，因為

所以

由（1）知：在區間上單調遞減，所以，

又因為當時，

所以，在區間上單調遞增，所以

由（1）可知：，又，∴

綜上可知：

（3）由（1）（2）知：

若，，若，

因為，∴，，

所以，，

當時，

當時，

所以，從而