【題目】直線y=x+a與拋物線y2=5ax（a＞0）相交于A，B兩點，C（0，2a），給出下列4個命題：
p1：△ABC的重心在定直線7x﹣3y=0上，p2：|AB| 
的最大值為2 
；
p3：△ABC的重心在定直線 3x﹣7y=0上；p4：|AB| 的最大值為2 
．
其中的真命題為（ �。�
A.p1 ， p2
B.p1 ， p4
C.p2 ， p3
D.p3 ， p4
【答案】A
【解析】解：如圖，
聯立 
，得x2﹣3ax+a2=0．
△=9a2﹣4a2=5a2＞0．
設A（x1，y1），B（x2，y2），
則x1+x2=3a， 
．
∴y1+y2=x1+x2+2a=5a，
∵C（0，2a），由重心坐標公式可得：△ABC的重心坐標為（ 
， 
）=（a， 
）．
把點（a， ）代入7x﹣3y=0成立，代入 3x﹣7y=0不成立，
∴命題p1是真命題，p3是假命題；
|AB|= 
= 
．
∴|AB| 
= 
，
令g（a）=﹣a3+3a2（a＞0），則g′（a）=﹣3a2+6a=﹣3a（a﹣2），
當a∈（0，2）時，g′（a）＞0，當a∈（2，+∞）時，g′（a）＜0，
∴g（a）在（0，2）上為增函數，在（2，+∞）上為減函數，
則g（a）max=g（2）=4，
∴|AB| 的最大值為 
，
∴命題p2是真命題，p4是假命題．
∴真命題是p1，p2 ．
所以答案是：A．
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中點，F是AB的中點．
（Ⅰ）求證：BE∥平面PDF；
（Ⅱ）求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的大�。�
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓E： 
+ 
=1（a＞b＞0）的離心率為 
，四邊形ABCD的各頂點均在橢圓E上，且對角線AC，BD均過坐標原點O，點D（2，1），AC，BD的斜率之積為 
．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過D作直線l平行于AC．若直線l′平行于BD，且與橢圓E交于不同的兩點M．N，與直線l交于點P．
⑴證明：直線l與橢圓E有且只有一個公共點；
⑵證明：存在常數λ，使得|PD|2=λ|PM||PN|，并求出λ的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著網絡營銷和電子商務的興起，人們的購物方式更具多樣化，某調查機構隨機抽取10名購物者進行采訪，5名男性購物者中有3名傾向于選擇網購，2名傾向于選擇實體店，5名女性購物者中有2名傾向于選擇網購，3名傾向于選擇實體店．
（1）若從10名購物者中隨機抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名傾向于選擇實體店的概率；
（2）若從這10名購物者中隨機抽取3名，設X表示抽到傾向于選擇網購的男性購物者的人數，求X的分布列和數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=lnx﹣ 
ax2+bx+1的圖象在x=1處的切線l過點（ ， ）．
（1）若函數g（x）=f（x）﹣（a﹣1）x（a＞0），求g（x）最大值（用a表示）；
（2）若a=﹣4，f（x1）+f（x2）+x1+x2+3x1x2=2，證明：x1+x2≥ ．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在數列{an}中，首項 
，前n項和為Sn ， 且 
（1）求數列{an}的通項
（2）如果bn=3（n+1）×2nan ， 求數列{bn}的前n項和Tn ．
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