Question

【題目】已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，且f（﹣3）=0，當x＞0時，有f（x）﹣xf′（x）＞0成立，則不等式f（x）＞0的解集是（ ）
A.（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
B.（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
C.（﹣3，0）∪（0，3）
D.（﹣3，0）∪（3，+∞）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：設g（x）= ，
則g′（x）= ，
∵當x＞0時，有f（x）﹣xf′（x）＞0成立，
∴當x＞0時，有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，即此時g′（x）＜0，函數g（x）為減函數，
∵f（x）是定義在R上的奇函數且f（﹣3）=0，
∴f（3）=0，且g（x）是偶函數，g（3）=g（﹣3）=0，
當x＞0時，f（x）＞0等價為g（x）＞0，即g（x）＞g（3），得0＜x＜3，
當x＜0時，f（x）＞0等價為g（x）＜0，即g（x）＜g（﹣3），
此時函數g（x）增函數，得x＜﹣3，
綜上不等式f（x）＞0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（0，3），
故選：A．

【考點精析】本題主要考查了函數奇偶性的性質和基本求導法則的相關知識點，需要掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇；若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導才能正確解答此題．