Question

【題目】如圖1，在直角梯形ABCD中，E，F分別為AB的三等分點，，若沿著FG，ED折疊使得點A和B重合，如圖2所示，連結GC，BD.

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）折疊后由于，因此取中點，有，只要再證得與平面內的另一條直線垂直即可得線面垂直，從而有面面垂直。為此再取中點，先證，再證得，那么命題由此可證；

（2）以為軸，為軸，建立解析中的空間直角坐標系，寫出各點坐標，求得平面和平面的法向量，由法向量的夾角求得二面角。

（1）取BD，BE的中點分別為O，M，連結GO，OM，MF.且，又因為且，所以且，故四邊形OGFM為平行四邊形，故.因為M為EB中點，三角形BEF為等邊三角形，故，因為平面EFB平面BCDE，故平面，因此平面，故平面平面BCDE；

（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，

則，，，

設平面CDG的法向量為，

則，即，

令得；

設平面CBG的法向量為，

則，

即，

令得.

，

故二面角的余弦值為.