Question

【題目】已知數列各項均為正數，Sn是數列的前n項的和，對任意的，都有.數列各項都是正整數，，且數列是等比數列．

(1) 證明：數列是等差數列；

(2) 求數列的通項公式；

(3)求滿足的最小正整數n.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）5

【解析】

(1) 當時，可求得.當時，由得，所以兩式相減得，由此可證明數列是首項，公差的等差數列；

(2)由(1)得， 推導出數列是首項為1，公比為2的等比數列，由此可求得通項公式；

(3)由，得.設，令得，即.由得.令得，知，所以，可求出滿足的最小的正整數.

(1)當時，，即，，由得.

當時，由得，所以兩式相減得，

所以.由知，所以，

所以數列是首項，公差的等差數列.

(2)由(1)得， 由,所以數列的公比，

所以數列是首項為1，公比為2的等比數列，所以.

又，所以，即.

(3)由，得.

設，

則.

令得，即.由得.

令得，知，

所以，

又因為，故當時，，

所以滿足的最小正整數n為5.