Question

【題目】已知右焦點為的橢圓關于直線對稱的圖形過坐標原點.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點且不垂直于軸的直線與橢圓交于，兩點，點關于軸的對稱點為，證明：直線與軸的交點為.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據題中條件運用基本量之間的關系求解；（2）借助題設條件運用直線和橢圓的位置關系建立坐標之間的關系，再用坐標之間的關系分析推證即可.

試題解析：（1）解：由題意得橢圓的焦點在軸上………………………………1分

∵橢圓關于直線對稱的圖形過坐標原點，∴，………………………………3分

∵，∴，解得…………………………………………………………4分

∴橢圓的方程為.………………………………………………5分

（2）證明：易知直線的斜率必存在，設直線的方程為，

代入得，

由得，.…………………………7分

設，，則

，，……………………………………8分

則直線的方程為，

令得：

，

∴直線過定點，又的右焦點為，∴直線與軸的交點為.…………12分