Question

設函數.
（Ⅰ）證明：時，函數在上單調遞增；
（Ⅱ）證明：.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）導數法，令，，再由得出，從而得出結論；（Ⅱ）用分析法證明，要證，只需證，接著
構造新函數，用導數法求解.
試題解析：（Ⅰ）證明：，則，，
∵，，
∴.                               (3分)
∴在單調遞增     ∴，即，
從而在上單調遞增；.                                   (7分)
（Ⅱ）證明：要證，
只需證，即，證明如下：
設，則，(9分)
已知當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增.
∴在上的最小值為，即，    (12分)
又由（Ⅰ），當且時，，
∴，即不等式恒成立. (14分)