Question

【題目】為降低汽車尾氣的排放量，某廠生產甲乙兩種不同型號的節排器，分別從甲乙兩種節排器中各自抽取100件進行性能質量評估檢測，綜合得分情況的頻率分布直方圖如圖所示.

節排器等級及利潤如表格表示，其中

綜合得分的范圍	節排器等級	節排器利潤率
	一級品
	二級品
	三級品

（1）若從這100件甲型號節排器按節排器等級分層抽樣的方法抽取10件，再從這10件節排器中隨機抽取3件，求至少有2件一級品的概率；

（2）視頻率分布直方圖中的頻率為概率，用樣本估計總體，則

①若從乙型號節排器中隨機抽取3件，求二級品數的分布列及數學期望；

②從長期來看，骰子哪種型號的節排器平均利潤較大？

Answer 1

【答案】（1） ；（2）①分布列見解析， ；②投資乙型號節排器的平均利潤率較大.

【解析】

（1）由已知及頻率分布直方圖中的信息知，甲型號節排器中的一級品的概率為0.6，根據分層抽樣，計算10件節排器中一級品的個數，再利用互斥事件概率加法公式能求出至少 2件一級品的概率；

（2）①由已知及頻率分布直方圖中的信息知，乙型號節排器中的一級品的概率為，二級品的概率，三級品的概率為，若從乙型號節排器隨機抽取3件，則二級品數所有可能的取值為，且，由此能求出的分布列和數學期望.

②由題意分別求出甲型號節排器的利潤的平均值和乙型號節排器的利潤的平均值，由此求出投資乙型號節排器的平均利潤率較大.

（1）由已知及頻率分布直方圖中的信息知，甲型號節排器中的一級品的概率為0.6，

分層抽樣的方法抽取10件，則抽取一級品為（件）

則至少有2件一級品的概率，

（2）①由已知及頻率分布直方圖中的信息知，乙型號節排器中的一級品的概率為，二級品的概率，三級品的概率為，若從乙型號節排器隨機抽取3件，則二級品數所有可能的取值為，且，

所以，

，，

所以，的分布列為

	0	1	2	3

所以數學期望

②由題意知，甲型號節排器的利潤的平均值

乙型號節排器的利潤的平均值

，又

所以投資乙型號節排器的平均利潤率較大.