Question

【題目】2019年4月26日，鐵人中學舉行了盛大的成人禮.儀式在《相信我們會創造奇跡》的歌聲中拉開序幕，莊嚴而神圣的儀式感動了無數家長，4月27日，鐵人中學官方微信發布了整個儀式精彩過程，幾十年眾志成城，數十載砥礪奮進，鐵人中學正在創造著一個又一個奇跡．官方微信發布后，短短幾個小時點擊量就突破了萬人，收到了非常多的精彩留言.學校從眾多留言者中抽取了100人參加“學校滿意度調查”，其留言者年齡集中在之間，根據統計結果，做出頻率分布直方圖如下：

（Ⅰ）求這100位留言者年齡的樣本平均數和樣本方差（同一組數據用該區間的中點值作代表）；

（Ⅱ）由頻率分布直方圖可以認為，留言者年齡服從正態分布，其中近似為樣本均數，近似為樣本方差．

(ⅰ)利用該正態分布，求；

（ii）學校從年齡在和的留言者中，按照分層抽樣的方法，抽出了7人參加“精彩留言”表彰大會，現要從中選出3人作為代表發言，設這3位發言者的年齡落在區間的人數是，求變量的分布列和數學期望．附：，若，則，.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）60，180；（Ⅱ）(ⅰ)；（ii）.

【解析】

（Ⅰ）利用頻率分布圖中的平均數公式和方差公式求這100位留言者年齡的樣本平均數和樣本方差；（Ⅱ）(ⅰ)利用正態分布的圖像和性質求；（ii）根據分層抽樣的原理，可知這7人中年齡在內有3人，在內有4人，故可能的取值為0，1，2，3，再求概率，寫分布列求期望得解.

(Ⅰ)這100位留言者年齡的樣本平均數和樣本方差分別為

，

，

(Ⅱ)（i）由（Ⅰ）知，，

從而；

（ii）根據分層抽樣的原理，可知這7人中年齡在內有3人，在內有4人，故可能的取值為0，1，2，3

，，

，.

所以的分布列為

Y	0	1	2	3
P

所以Y的數學期望為.