Question

已知是等差數列，首項，前項和為.令,的前項和.數列是公比為的等比數列，前項和為，且，.

（1）求數列、的通項公式；

（2）證明：.

 

Answer 1

【答案】

(1) ，；(2)見解析.

【解析】

試題分析：(1)首先設等差數列的公差為，由已知建立的方程，求得，寫出等差數列的通項公式；進一步確定等比數列的公比，求得等比數列的通項公式.

(2)求得，將不等式加以轉化成，

即證：.注意到這是與自然數有關的不等式證明問題，故考慮應用數學歸納法.

很明顯時，，因此用數學歸納法證明：當時，.

試題解析：(1)設等差數列的公差為，因為

所以

則

則

解得，所以 4分

所以，

所以 6分

(2)由(1)知，

要證，

只需證

即證： 8分

當時，

下面用數學歸納法證明：當時，

（1）當時，左邊，右邊，左右，不等式成立

（2）假設，

則時，

時不等式成立

根據（1）（2）可知：當時，

綜上可知：對于成立

所以 12分

考點：等差數列、等比數列的通項公式及其求和公式，數學歸納法.