Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點分別為、，是橢圓的上頂點，，且的面積為1．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設、是橢圓上的兩個動點，，求當的面積取得最大值時，直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據三角形的面積公式，以及等邊三角形的性質即可求出b，c，再根據a2＝b2+c2，即可得到．（2）設，，聯立方程組根據根與系數的關系，利用MA⊥NA，得到﹣1，即可得出．

（1）由已知可得，的面積為．.

∴.故橢圓的標準方程為.

（2）設，，依題意直線的斜率存在，故設的方程為，

聯立得，

∴，即，

且，，

又 ，

.∵是橢圓的上頂點，故，

∵，∴，即，

∴，

∴，，或，

∵直線不過點，∴，直線過定點，

的面積，

令.則，函數，，

∴在單調遞減，故.

∴的面積取得最大值時，，直線的方程為.