Question

已知函數是奇函數，并且函數f（x）的圖象經過點（1，3）
（1）求實數a，b的值；
（2）當x＞0時，求出函數f（x）的遞增區間，并用定義進行證明；
（3）求函數f（x）當x＞0時的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（-x）+f（x）=0可求得b=0；又f（x）的圖象經過點（1，3），從而可求得a；
（2）當x＞0時，f（x）=2x+在[，+∞）上單調遞增，利用單調性的定義證明即可；
（3）可利用導數判斷f（x）=2x+在[，+∞）上單調遞增，在（0，]上單調遞減，從而可確定函數f（x）當x＞0時的值域．
解答：解：（1）∵f（x）=是奇函數，
∴f（-x）+f（x）=+=（1+ax²）•=0，
∴b=0；
∴f（x）=，又f（x）的圖象經過點（1，3），
∴=3，
∴a=2；
∴f（x）=2x+；
（2）當x＞0時，f（x）=2x+在[，+∞）上單調遞增．
證明：令≤x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=2（x₂-x₁）+（-）=（x₂-x₁）（2-），
∵≤x₁＜x₂，
∴0＜＜2，于是2-＞0，
∴（x₂-x₁）（2-）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴當x＞0時，f（x）=2x+在[，+∞）上單調遞增．
（3）∵f（x）=2x+（x＞0），
∴f′（x）=2-，由f′（x）≥0可得x≥，由f′（x）＜0可得0＜x＜，
∴f（x）=2x+在[，+∞）上單調遞增，在（0，]上單調遞減．
∴f（x）=2x+在x=處取到最小值2，
∴當x＞0時f（x）=2x+的值域為：[2，+∞）．
點評：本題考查函數奇偶性與單調性的綜合，難點在于函數單調增區間的確定（導數法先判斷，再用定義證明），著重考查函數奇偶性與單調性的性質及其應用，綜合性強，屬于難題．