【題目】如圖，在菱形
中，
，
平面，
，
是線段
的中點，
.
（1）證明：
平面
；
（2）求直線
與平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)見解析.
(2) 
.
【解析】試題分析：（1）設AC與BD的交點為O，連接MO可證明
平面
、
平面，從而可得平面
平面，進而可得
平面；（2）取
的中點為
，連接
，則
，以
為坐標原點，分別以，
，
為
軸，
軸，
軸建立空間直角坐標系，求出直線
的方向向量，利用向量垂直數量積為零解方程組求出平面
的法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得直線與平面所成角的正弦值.
試題解析：（1）設
與
的交點為
，連接
.因為
，
平面，所以平面.
因為
是線段
的中點，所以是
的中位線，所以
.
又
，所以平面
所以，平面平面.
故平面.
（2）取的中點為，連接，則.
以為坐標原點，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系.取
，則
，
，
，
.
所以
，
.
設平面的法向量
，則
，即
，解得
.
可取法向量
.
又
，則
故直線與平面所成角的正弦值為.
【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、直線和平面成的角的定義及求法、利用等積變換求三棱錐體積，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某商店經營的某種消費品的進價為每件14元，月銷售量
（百件）與每件的銷售價格
（元）的關系如圖所示，每月各種開支2 000元．
（1）寫出月銷售量（百件）關于每件的銷售價格（元）的函數關系式．
（2）寫出月利潤
（元）與每件的銷售價格（元）的函數關系式．
（3）當該消費品每件的銷售價格為多少元時，月利潤最大？并求出最大月利潤．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系
中，
，
分別為橢圓
的左、右焦點．動直線
過點，且與橢圓
相交于
，
兩點（直線與
軸不重合）．
（1）若點的坐標為
，求點坐標；
（2）點
，設直線
，
的斜率分別為
，
，求證：
；
（3）求
面積最大時的直線的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知橢圓
： 
， 其左右焦點為
及
，過點
的直線交橢圓
于
兩點，線段
的中點為
， 
的中垂線與
軸和
軸分別交于
兩點，且
、
、
構成等差數列.
（1）求橢圓
的方程；
（2）記
的面積為
， 
（
為原點）的面積為
，試問：是否存在直線
，使得
？說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，側棱與底面垂直，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，點M，N分別為A1B和B1C1的中點．
（1）求異面直線A1B與NC所成角的余弦值；
（2）求A1B與平面NMC所成角的正弦值．
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