Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，側棱與底面垂直，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，點M，N分別為A1B和B1C1的中點．

（1）求異面直線A1B與NC所成角的余弦值；

（2）求A1B與平面NMC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）以點A為原點，分別以AB，AC，AA1為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線A1B與NC所成角的余弦值；

（2）求出平面MNC的一個法向量，利用向量法能求出A1B與平面NMC所成角的正弦值．

（1）證明：以點為坐標原點，分別以直線，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，于是，，，.

∴，，

設異面直線與所成角為，則

.

∴異面直線與所成角的余弦值為.

（2），，，，

設是平面的一個法向量，則

，取，

設向量和向量的夾角為，

則 ，

∴與平面所成角的正弦值為.