Question

已知函數.

(I)若在處取得極值，

 ①求、的值；②存在，使得不等式成立，求的最小值；

(II)當時，若在上是單調函數，求的取值范圍.（參考數據）

 

Answer 1

【答案】

（1）①，②；（2）

【解析】

試題分析：（1）①根據在處取得極值，求導將帶入到導函數中，聯立方程組求出的值；②存在性恒成立問題，，只需，進入通過求導求出的極值，最值.（2）當的未知時，要根據中分子是二次函數形式按進行討論.

試題解析：（1）定義域為.

①,

因為在處取和極值，故,

即，解得.

②由題意：存在，使得不等式成立，則只需

由，令則，令則或，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減

所以在處取得極小值，

而最大值需要比較的大小,

,

,

比較與4的大小，而，所以

所以

所以.

（2）當 時，

①當時，則在上單調遞增；

②當時，∵ ，則在上單調遞增；

③當時，設，只需，從而得，此時在上單調遞減；

綜上可得，.

考點：1.利用導數求函數的極值、最值；2.函數恒成立問題；3.利用單調性求參數范圍.