Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣ax﹣4（a∈R）的兩個零點為x1 ， x2 ， 設x1＜x2 ．
（1）當a＞0時，證明：﹣2＜x1＜0；
（2）若函數g（x）=x2﹣|f（x）|在區間（﹣∞，﹣2）和（2，+∞）上均單調遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：令f（x）=0

解得：x1= ，x2= ．

∵ ＞ =a，∴ ＜0．

∵a＞0，∴ ＜ =a+4，

∴ ＞ =﹣2．

∴﹣2＜x1＜0．

（2）解：g（x）=x2﹣|x2﹣ax﹣4|，∴g′（x）=2x﹣|2x﹣a|，

∵g（x）在區間（﹣∞，﹣2）和（2，+∞）上均單調遞增，

∴g′（x）＞0，即2x＞|2x﹣a|，（x＞2）．

當a=0時，顯然不成立，

若a＞0，作出y=2x和y=|2x﹣a|的函數圖象如圖：

∴0＜ ，解得0＜a≤8．

若a＜0，作出y=2x和y=|2x﹣a|的函數圖象如圖：

有圖象可知2x＜|2x﹣a|，故g′（x）＞0不成立，不符合題意．

綜上，a的取值范圍是（0，8]

【解析】（1）使用求根公式解出x1 ， 利用a的范圍和不等式的性質得出；（2）求出g′（x），令g′（x）＞0，結合函數圖象討論a的范圍，
【考點精析】關于本題考查的二次函數的性質，需要了解當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減才能得出正確答案．