Question

【題目】已知函數.

（1）若，討論函數的單調性；

（2）設，是否存在實數，對任意，，，有恒成立？若存在，求出的范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）存在，.

【解析】

（1）先求導，再討論的取值范圍，求出函數的單調區間即可；

（2）先假設存在實數，，所以可設，由此能得到：，根據單調性的定義，令，要使函數在上是增函數，只要函數在上的導數值大于等于即可，繼而求出的范圍.

（1）函數的定義域為，

，

①若，則，，且只在時取等號，∴在上單調遞增；

②若，則，而，∴，當時，；當及時，，所以在上單調遞減，在及上單調遞增；

③若，則，同理可得:在上單調遞減，在及上單調遞增；

綜上，當時，在上單調遞減，在及上單調遞增；

當時，在上單調遞增；

當時，在上單調遞減，在及上單調遞增；

（2），

假設存在，對任意，，，有恒成立，

不妨設，要使恒成立，即必有，

令，即，

，

要使在上為增函數，

只要在上恒成立，須有，，故存在時，對任意，，，有恒成立.