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【題目】已知函數，是的導函數.

（1）若，求的最值；

（2）若，證明：對任意的，存在，使得.

【答案】（1）最小值為，沒有最大值；（2）證明見解析

【解析】

（1）求函數的定義域，求，利用的正負，判斷的單調性，求出的最值；

（2）求出，易知在上單調遞增，所以在上單調遞增，求出的取值范圍，得到，所以在上單調遞增，再求出的取值范圍.由題意，問題轉化為證明的最大值小于等于的最大值成立.

（1）函數的定義域為.

當時，，.

所以在上，在上，

所以在上單調遞減，在上單調遞增.

因為，所以的最小值為，沒有最大值.

（2）由題意得.

因為在上單調遞增，所以，

即.

因為且，所以，所以在上單調遞增.

所以，即.

依題意知，只需成立即可.

要證成立，即證成立.

因為，所以，，所以，

從而，原命題得證.

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知.

（1）當a時，求證：；

（2）當時，求函數在上的最大值

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f（x）＝xlnx+2x﹣1．

（1）求f（x）的極值；

（2）若對任意的x＞1，都有f（x）﹣k（x﹣1）＞0（k∈Z）恒成立，求k的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，當且僅當，時取到極值，且極大值比極小值大

(1)求，值；

(2)求出的極大值和極小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）若，討論函數的單調性；

（2）設，是否存在實數，對任意，，，有恒成立？若存在，求出的范圍；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】甲市有萬名高三學生參加了天一大聯考，根據學生數學成績（滿分：分）的大數據分析可知，本次數學成績服從正態分布，即，且，.

（1）求的值.

（2）現從甲市參加此次聯考的高三學生中，隨機抽取名學生進行問卷調查，其中數學成績高于分的人數為，求.

（3）與甲市相鄰的乙市也有萬名高三學生參加了此次聯考，且其數學成績服從正態分布.某高校規定此次聯考數學成績高于分的學生可參加自主招生考試，則甲和乙哪個城市能夠參加自主招生考試的學生更多？

附：若隨機變量，則，，.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為（t為參數），直線l與曲線C：（y﹣1）2﹣x2＝1交于A，B兩點．

（1）求|AB|的長；

（2）在以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立的極坐標系中，設點P的極坐標為，求點P到線段AB中點M的距離．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若存在正數a，使得時，，求實數k的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知等差數列的前n項和為Sn，若為等差數列，且．

（1）求數列的通項公式；

（2）是否存在正整數， 使成等比數列？若存在，請求出這個等比數列；若不存在，請說明理由；

（3）若數列滿足，，且對任意的，都有，求正整數k的最小值．

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