Question

已知函數f(x)=

4x+2x+1+a

2x

．
（1）a的值為多少時，f（x）是偶函數？
（2）若對任意x∈[0，+∞），都有f（x）＞0，求實數a的取值范圍．
（3）若f（x）在區間[0，+∞）上單調遞增，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用偶函數的定義進行求值．
（2）求函數的最小值即可．
（3）利用函數單調性的定義進行求值判斷．

解答：解：（1）因為f(x)=

4x+2x+1+a

2x

=2x+2+

a

2x

=2x+2+a?2-x，
要使f（x）是偶函數，則f（-x）=f（x）-----------（1分）
即2^-x+2+a?2^x=2^x+2+a?2^-x，解得a=1-----------（2分）
（2）因為f（x）＞0，所以4^x+2^x+1+a＞0，即（2^x+1）²+a-1＞0-----------（1分）
所以a＞1-（2^x+1）²-----------（1分）2x+2+

a

2x

=2x+2+a?2-x
因為x≥0，所以2^x≥1，所以（2^x+1）²≥4，所以1-（2^x+1）²≤-3，
所以a＞-3----------（2分）
（3）任取0≤x₁＜x₂，則f（x₁）＜f（x₂）-----------（1分）
即f(x1)-f(x2)=2x1+2+

a

2x1

-2x2-2-

a

2x2

＜0，
即2x1-2x2

a

2x1

-

a

2x2

=(2x1-2x2)?

2x1+x2-a

2x1x2

＜0，
因為0≤x₁＜x₂，所以2x1+x2-a＜0，
即a1，所以a≤1．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用，以及函數單調性和最值的應用，考查學生的運算能力．