Question

有一批貨物需要用汽車從生產商所在城市甲運至銷售商所在城市乙，已知從城市甲到城市乙只有兩條公路，且通過這兩條公路所用的時間互不影響。
據調查統計，通過這兩條公路從城市甲到城市乙的200輛汽車所用時間的頻數分布如下表：

所用的時間（天數）	10	11	12	13
通過公路1的頻數	20	40	20	20
通過公路2的頻數	10	40	40	10

假設汽車A只能在約定日期（某月某日）的前11天出發，汽車B只能在約定日期的前12天出發。
（1）為了盡最大可能在各自允許的時間內將貨物運往城市乙，估計汽車A和汽車B應如何選擇各自的路徑；
（2）若通過公路1、公路2的“一次性費用”分別為3.2萬元、1.6萬元（其它費用忽略不計），此項費用由生產商承擔。如果生產商恰能在約定日期當天將貨物送到，則銷售商一次性支付給生產商40萬元，若在約定日期前送到，每提前一天銷售商將多支付給生產商2萬元；若在約定日期后送到，每遲到一天銷售商將少支付給生產商2萬元。如果汽車A、B長期按（1）所選路徑運輸貨物，試比較哪輛汽車為生產商獲得的毛利潤更大。
（注：毛利潤=（銷售商支付給生產商的費用）—（一次性費用））

Answer 1

（1）A選路1，B選路2； （2）B的利潤大

試題分析：（I）求出頻率分布表，計算汽車A在約定日期（某月某日）的前11天出發選擇公路1，2將貨物運往城市乙的概率；汽車B在約定日期（某月某日）的前12天出發選擇公路1，2將貨物運往城市乙的概率，即可得到結論；
（II）分別確定汽車A、B為生產商獲得毛利潤的概率分布列，求出期望，比較期望值，即可得到結論
解：（I）頻率分布表，如下：

所用的時間（天數）	10	11	12	13
通過公路1的頻數	0.2	0.4	0.2	0.2
通過公路2的頻數	0.1	0.4	0.4	0.1

設A₁，A₂分別表示汽車A在約定日期（某月某日）的前11天出發選擇公路1，2將貨物運往城市乙；B₁，B₂分別表示汽車B在約定日期（某月某日）的前12天出發選擇公路1，2將貨物運往城市乙．
∵P（A₁）=0.2+0.4=0.6，P（A₂）=0.1+0.4=0.5，∴汽車A選擇公路1，
∵P（B₁）=0.2+0.4+0.2=0.8，P（B₂）=0.1+0.4+0.4=0.9，∴汽車A選擇公路2；
（II）設X表示汽車A選擇公路1，銷售商支付給生產商的費用，則X=42，40，38，36
X的分布列如下：

X	42	40	38	36
P	0.2	0.4	0.2	0.2

∴E（X）=42×0.2+40×0.4+38×0.2+36×0.2=39.2
∴汽車A選擇公路1時的毛利潤為39.2-3.2=36.0（萬元）
設Y為汽車B選擇公路2時的毛利潤，則Y=42.4，40.4，38.4，36.4
分布列如下

Y	42.4	40.4	38.4	36.4
P	0.1	0.4	0.4	0.1

∴E（Y）=42.4×0.1+40.4×0.4+38.4×0.4+36.4×0.1=39.4
∵36.0＜39.4，∴汽車B為生產商獲得毛利潤更大．
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查比較兩個變量的期望值，得到最優思路，是一個利用概率知識解決實際問題的題目，是一個綜合題目