Question

【題目】橢圓C： 過點P（ ，1）且離心率為 ，F為橢圓的右焦點，過F的直線交橢圓C于M，N兩點，定點A（﹣4，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若△AMN面積為3 ，求直線MN的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可得： =1， = ，又a2=b2+c2，

聯立解得：a2=6，b2=2，c=2．

∴橢圓C的方程為： ．

（Ⅱ）F（2，0）．

①若MN⊥x軸，把x=2代入橢圓方程可得： + =1，解得y=± ．

則S△AMN= =2 ≠3 ，舍去．

②若MN與x軸重合時不符合題意，舍去．因此可設直線MN的方程為：my=x﹣2．

把x=my+2代入橢圓方程可得：（m2+3）y2+4my﹣2=0．

∴y1+y2=﹣ ，y1y2= ，

∴|y1﹣y2|= = = ．

則S△AMN= =3× =3 ，解得m=±1．

∴直線MN的方程為：y=±（x﹣2）．

【解析】（1）由題意可得： =1， = ，又a2=b2+c2，聯立解得：a2，b2，c．可得橢圓C的方程．（2）F（2，0）．①若MN⊥x軸，把x=2代入橢圓方程可得： + =1，解得y．則S△AMN≠3 ，舍去．②若MN與x軸重合時不符合題意，舍去．因此可設直線MN的方程為：my=x﹣2．把x=my+2代入橢圓方程可得：（m2+3）y2+4my﹣2=0．可得|y1﹣y2|= ．利用S△AMN= =3 即可得出．