Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=2，∠ABC=60°，平面ACEF⊥平面ABCD，四邊形ACEF是菱形，∠CAF=60°．
（1）求證：BC⊥平面ACEF；
（2）求平面ABF與平面ADF所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在梯形ABCD中，AB∥CD，

AD=DC=CB=2，∠ABC=60°，∴∠ADC=DCB=120°，∠DCA=∠DAC=30°，

∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，

又∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，

∴BC⊥平面ACEF

（2）解：取G為EF中點．連CG

∵四邊形ACEF是菱形，∠CAF=60°，∴CG⊥EF即CG⊥AC

與（1）同理可知CG平面ABCD

如圖所示，以C為坐標原點建立空間直角坐標系，

則有 ，

， ，

設 是平面ABF的一個法向量，

則 ，即 ，取 ．

設 是平面ADF的一個法向量，則 ，即 ，取 ．

設平面ABF與平面ADF所成銳二面角為θ，則 ，

即平面ABF與平面ADF所成銳二面角的余弦值為 ．

【解析】（1）證明 BC⊥AC，由平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，得BC⊥平面ACEF （2）以C為坐標原點建立空間直角坐標系，求出法向量即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面垂直的判定(一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想)．