Question

【題目】設函數f（x）在R上的導函數為f′（x），對x∈R有f（x）+f（﹣x）=x2 ， 在（0，+∞）上f′（x）﹣x＜0，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m，則實數m的取值范圍是（ ）
A.[2，+∞）
B.（﹣∞，2]
C.（﹣∞，2]∪[2，+∞）
D.[﹣2，2]

Answer 1

【答案】A
【解析】解：由題意設g（x）=f（x）﹣ ， ∵對x∈R有f（x）+f（﹣x）=x2 ，
∴g（x）+g（﹣x）=f（x）+f（﹣x）﹣x2=0，
則函數g（x）是R上的奇函數，
∵在（0，+∞）上f′（x）﹣x＜0，
∴g′（x）=f′（x）﹣x＜0，則函數g（x）在（0，+∞）上遞減，
由奇函數的性質知：函數g（x）在（﹣∞，+∞）上遞減，
∵f（4﹣m）﹣f（m）=[g（4﹣m）+ ]﹣[g（m）+ ]
=g（4﹣m）﹣g（m）+8﹣4m≥8﹣4m，
∴g（4﹣m）≥g（m），則4﹣m≤m，解得m≥2，
即實數m的取值范圍是[2，+∞），
故選A．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．