Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區間；

（2）設，求在區間上的最大值；

（3）證明：對，不等式成立.（為自然對數的底數）

Answer 1

【答案】（1）函數在上單調遞增，在上單調遞減（2）（3）見解析

【解析】試題分析：（1）確定函數的定義域，求導數，由導數的正負明確函數的單調區間；（2）對分類討論，確定函數再上得單調性，從而可求函數的最大值；（3）先確定函數在上，恒有，即，結合（1）可證，從而可得，恒有，進而可得結論.

試題解析：（1）的定義域為， ，

由，得．

當時， ；當時， ．

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減．

（2）①當，即時， 在上單調遞增，

∴．

②當時， 在上單調遞減，

∴．

③當，即時， 在上單調遞增，在上單調遞減，

∴

（3）由（1）知，當時， ，所以在上，恒有，即且當時等號成立．

因此，對，恒有．

∵，

∴，即，

∴．即對，不等式成立．