Question

【題目】已知橢圓：，點是橢圓內且在軸上的一個動點，過點的直線與橢圓交于，兩點（在第一象限），且.

（Ⅰ）若點為橢圓的下頂點，求點的坐標；

（Ⅱ）當（為坐標原點）的面積最大時，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意知的縱坐標，代入橢圓的方程，解得得到點坐標，從而直線的方程，求得點的坐標；

（Ⅱ）設直線的方程為，聯立方程組，求得，從而，列出的表達式，利用基本不等式，即可求解的值，得到點的坐標．

試題解析：

（Ⅰ）由題易知，由知的縱坐標為，

代入橢圓的方程得，解得（負值舍去），即此時.

從而直線的方程為，令，得，即此時.

（Ⅱ）設，，由，知.

易知直線與軸不垂直且斜率不為0，設直線的方程為，聯立，

消去可得 ，∴，.

∵，∴，，

∴，從而.

∴ .

∵在第一象限，∴ ，∴.

∵，∴.

∴ ，當且僅當時取等號，此時.

即此時.