Question

【題目】已知橢圓經過拋物線的焦點，上的點與的兩個焦點所構成的三角形的周長為．

（1）求的方程；

（2）若點關于原點的對稱點為，過點作直線交于另一點，交軸于點，且∥．判斷是否為定值，若是求出該值；若不是請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）是定值，為定值2．

【解析】

（1）先求出拋物線的焦點的坐標，再由經過點得出的值，最后利用橢圓的定義以及題中條件求出，從而得解；

（2）先設出直線的方程，求出點的坐標，可得的值，再把的方程與的方程聯立，求出點的坐標，從而得的值，根據已知求出，根據橢圓的對稱性，求出，即可判斷是否為定值.

（1）因為拋物線的焦點，所以，

因為上的點與的兩個焦點所構成的三角形的周長為，

所以，所以，

所以，

所以的方程為.

（2）由題意可知直線的斜率存在且不為0，設直線的方程為，

令，得，即，所以，

由，得，解得，

即， 所以，

因為∥，所以直線的方程為，

由，得，解得，

所以，

根據橢圓的對稱性，知，即，

所以，

故為定值，該定值為2.