Question

【題目】已知拋物線的焦點為，準線與軸交于點，過點的直線交拋物線于，兩點，點在第一象限.

若，，求直線的方程；

若，點為準線上任意一點，求證：直線，，的斜率成等差數列.

Answer 1

【答案】；證明見解析.

【解析】

設點在準線上的射影為，由拋物線的定義知，，設，列式聯立求出，直線AB的斜率為，進而寫出直線的方程；

若，則拋物線，準線，設直線的方程為，

聯立得消得，利用韋達定理，進而求出，即可求證.

解：設點在準線上的射影為，由拋物線的定義知，

，設，，由題設知，

，，

解得，則，，即，①

又由拋物線的定義知，，即，②

聯立①②，解得，或，

，∴，則，

焦點為，，

則直線的斜率為，

故直線的方程為；

證明：若，則拋物線，

，準線，

設直線的方程為，

，，，

由消去得，，

則，，

則

又，，

故直線，，的斜率成等差數列.