【題目】已知橢圓
的離心率為
，過橢圓
的左、右焦點
分別作傾斜角為
的直線
，且之間的距離為1．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線
與橢圓只有一個公共點，求點到直線的距離之積．
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【題目】已知直線l：
和橢圓
：
相交于點
，
（1）當直線l過橢圓的左焦點和上頂點時，求直線l的方程
（2）點
在上，若
，求
面積的最大值：
（3）如果原點O到直線l的距離是
，證明：
為直角三角形.
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【題目】下表是某原料在市場上從2013年至2019年這7年中每年的平均價格（單位：千元/噸）數據：
年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
年份代號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
平均價格 （單位：千元/噸） |
|
|
|
|
|
|
|
（
和
線性相關性較強，求出以為解釋變量為預報變量的線性回歸方程（系數精確到
）；
（2）以（1）的結論為依據，預測2032年該原料價格.預估該原料價格在哪一年突破1萬元/噸？
參考數據：
，
，
，
參考公式：回歸方程
中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
，
.
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【題目】設橢圓
的左、右焦點分別為
，上頂點為
，離心率為
， 在
軸負半軸上有一點
，且
（1）若過
三點的圓 恰好與直線
相切，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過右焦點
作斜率為
的直線
與橢圓C交于
兩點，在軸上是否存在點
，使得以
為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出
的取值范圍；如果不存在，說明理由．
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【題目】某保險公司為客戶定制了5個險種：甲，一年期短險；乙，兩全保險；丙，理財類保險；丁，定期壽險：戊，重大疾病保險，各種保險按相關約定進行參保與理賠.該保險公司對5個險種參保客戶進行抽樣調查，得出如下的統計圖例，以下四個選項錯誤的是（ ）
A.54周歲以上參保人數最少B.18～29周歲人群參�？傎M用最少
C.丁險種更受參保人青睞D.30周歲以上的人群約占參保人群的80%
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【題目】已知拋物線
的焦點為
，準線
與
軸交于點
，過點的直線交拋物線于
，
兩點，點在第一象限.
若
，
，求直線
的方程；
若
，點
為準線上任意一點，求證：直線
，
，
的斜率成等差數列.
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【題目】若數列
滿足
，且存在常數
，使得對任意的
都有
，則稱數列為“k控數列”．
（1）若公差為d的等差數列是“2控數列”，求d的取值范圍；
（2）已知公比為
的等比數列
的前n項和為
，數列與都是“k控數列”，求q的取值范圍（用k表示）．
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【題目】設數列
的前
項和為
，且
.
（1）求證：數列
為等比數列；
（2）設數列
的前
項和為
，求證： 
為定值；
（3）判斷數列
中是否存在三項成等差數列，并證明你的結論.
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【題目】綠水青山就是金山銀山．某山村為做好水土保持，退耕還林，在本村的山坡上種植水果，并推出山村游等旅游項目．為預估今年7月份游客購買水果的情況，隨機抽樣統計了去年7月份100名游客的購買金額．分組如下：
，
，
，得到如圖所示的頻率分布直方圖：
（1）請用抽樣的數據估計今年7月份游客人均購買水果的金額（同一組中的數據用該組區間中點作代表）．
（2）若把去年7月份購買水果不低于80元的游客，稱為“水果達人”． 填寫下面列聯表，并根據列聯表判斷是否有95%的把握認為“水果達人”與性別有關系？
水果達人 | 非水果達人 | 合計 | |
男 | 10 | ||
女 | 30 | ||
合計 |
（3）為吸引顧客，商家特推出兩種促銷方案．方案一：每滿80元可立減10元；方案二：金額超過80元可抽獎三次，每次中獎的概率為
,且每次抽獎互不影響，中獎1次打9折，中獎2次打8折，中獎3次打7折．若每斤水果10元，你打算購買12斤水果，請從實際付款金額的數學期望的角度分析應該選擇哪種優惠方案．
附：參考公式和數據：
，
.臨界值表：
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
| 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 |
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