Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點F是橢圓C：1（a＞b＞0）的一個焦點，點D是橢圓上的一個動點，且|FD|∈[1，3]．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）過點P（﹣4，0）作直線交橢圓C于A，B兩點，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）：1；（Ⅱ）2．

【解析】

（Ⅰ）由點是橢圓上的一個動點,且可得:可解得：即可求得橢圓的標準方程;

（Ⅱ）設由題意設直線的方程為,聯立

,得,由韋達定理、點到直線距離公式等,結合已知條件能求出面積的最大值．

（Ⅰ）由點D是橢圓上的一個動點，且|FD|∈[1，3]可得：a﹣c＝1，a+c＝3，a2＝b2+c解得：a2＝4，b2＝3，

所以橢圓的標準方程：1；

（Ⅱ）顯然直線AB的斜率不為零，設直線AB的方程：x＝my﹣4，A（x，y），B（x'，y'），

聯立與橢圓的方程整理得：（4+3m2）y2﹣24my+36＝0，

△＝（﹣24m）2﹣436（4+3m2）＞0，整理得m2＞4，且y+y'，yy'，

∴|AB|12

O到直線AB的距離d，

所以S△AOB|AB|d＝48482，

當且僅當，即時等號成立，

所以△AOB面積的最大值：2．