Question

（2009•海淀區二模）數列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ，（n=1，2，3…）．
（Ⅰ） 當a₂=-1時，求實數λ及a₃；
（Ⅱ）是否存在實數λ，使得數列{a_n}為等差數列？若存在，求出其通項公式，若不存在，說明理由；
（Ⅲ）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據a₁=2，a₂=-1，而a₂=（λ-3）a₁+2，解之即可求出λ，根據a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ可求出a₃的值；
（Ⅱ）根據首項a₁，與遞推關系a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ求出a₂，a₃，若數列{a_n}為等差數列，則a₁+a₃=2a₂可得關于λ的方程即可判定是否存在實數λ；
（Ⅲ）根據a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ，a₁=2，若λ=3，則a_n=2^n-1（n≥2），若λ≠3，則a_n=（λ-3）a_n-1+2^n-1=（λ-3）^n-1•2+（λ-3）^n-2•2+（λ-3）^n-3•2²+…+（λ-3）•2^n-2+2^n-1（n≥2）等式右邊是從第二項起，是一個首項為2（λ-3）^n-2，公比為

2

λ-3

的等比數列，如果

2

λ-3

=1，即λ=5時，求出a_n，如果

2

λ-3

≠1，即λ≠5時，利用等比數列求和公式進行求解即可．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=2，a₂=-1，a₂=（λ-3）a₁+2，
∴λ=

3

2

，故a₃=-

3

2

a2+2 ，
所以a₃=

11

2

．…（3分）
（Ⅱ）∵a₁=2，a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ
∴a₂=（λ-3）a₁+2=2λ-4…（4分）
a₃=（λ-3）a₂+4=2λ²-10λ+16…（5分）
若數列{a_n}為等差數列，則a₁+a₃=2a₂∴λ²-7λ+13=0…（6分）
∵△=49-4×13＜0∴方程沒有實根，…（7分）
故不存在實數λ，使得數列{a_n}為等差數列．…（8分）
（Ⅲ）∵a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ，a₁=2
若λ=3，則a_n=2^n-1（n≥2）；                       …（9分）
若λ≠3，∴a_n=（λ-3）a_n-1+2^n-1
=（λ-3）[（λ-3）a_n-2+2^n-2]+2^n-1
=（λ-3）{（λ-3）[（λ-3）a_n-3+2^n-3]+2^n-2}+2^n-1
…
=（λ-3）^n-1a₁+（λ-3）^n-2•2+（λ-3）^n-3•2²+…+（λ-3）•2^n-2+2^n-1
=（λ-3）^n-1•2+（λ-3）^n-2•2+（λ-3）^n-3•2²+…+（λ-3）•2^n-2+2^n-1
（n≥2）…（11分）
則數列（λ-3）^n-1•2，（λ-3）^n-2•2，（λ-3）^n-3•2²，…，（λ-3）•2^n-2，2^n-1
從第二項起，是一個首項為2（λ-3）^n-2，公比為

2

λ-3

的等比數列．
如果

2

λ-3

=1，即λ=5時，a_n=2（5-3）^n-1+（n-1）（5-3）^n-2•2=2ⁿ+（n-1）2^n-1=（n+1）•2^n-1；
當n=1時也成立．
如果

2

λ-3

≠1，即λ≠5時，an=2(λ-3)n-1+

2•(λ-3)n-2[1-( 2 λ-3 )n-1]

1- 2 λ-3

=2(λ-3)n-1+

(λ-3)n-1•2-2n

λ-5

=

2λ-8

λ-5

(λ-3)n-1-

2n

λ-5

當n=1時也成立．
故數列{a_n}的通項公式為：當λ=3時，a_n=

2n-1n≥2 2n=1

；
當λ=5時，a_n=（n+1）•2^n-1；
當λ≠5且λ≠3時，a_n=

2λ-8

λ-5

(λ-3)n-1-

2n

λ-5

．…（14分）
說明：其他正確解法按相應步驟給分．

點評：本題主要考查了數列的遞推關系，以及等比數列求和公式，同時考查了分類討論的數學思想，該題有一定的難度．