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【題目】已知直線交拋物線于兩點，過點分別作拋物線的切線，若兩條切線互相垂直且交于點.

（1）證明：直線恒過定點；

（2）若直線的斜率為1，求點的坐標.

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）由得，利用導數可得直線的斜率為，直線的斜率為，結合，可得，即，從而利用韋達定理可得，則直線恒過定點；（2）求出直線的方程為，直線的方程為，解得點的坐標為，結合（1）利用韋達定理可得結果.

（1）證明：易知直線的斜率存在，設直線，，.

由得，

所以，.

由，得，所以，

所以直線的斜率為，直線的斜率為.

因為，所以，即，

所以，得，

所以直線，故直線恒過定點.

（2）由（1）得直線的斜率為1時，，.

直線的方程為，即，

同理直線的方程為，即，

上面兩式聯立得，，所以點的坐標為，即.

練習冊系列答案
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【題目】如圖，在三棱柱中，四邊形是菱形，四邊形是正方形，，，，點為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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【題目】將所有的正奇數按以下規律分組，第一組：1；第二組：3，5，7；第三組：9，11，13，15，17；… 表示n是第i組的第j個數，例如，，則（ ）

A.B.C.D.

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【題目】下列說法正確的是( )

A. “f(0)”是“函數f（x）是奇函數”的充要條件

B. 若p：，，則：，

C. “若，則”的否命題是“若，則”

D. 若為假命題，則p，q均為假命題

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【題目】某地某高中2018年的高考考生人數是2015年高考考生人數的1.5倍.為了更好地對比該�？忌纳龑W情況，統計了該校2015和2018年高考情況，得到如下餅圖：

2018年與2015年比較，下列結論正確的是（ ）

A. 一本達線人數減少

B. 二本達線人數增加了0.5倍

C. 藝體達線人數相同

D. 不上線的人數有所增加

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【題目】2018年反映社會現實的電影《我不是藥神》引起了很大的轟動，治療特種病的創新藥研發成了當務之急．為此，某藥企加大了研發投入，市場上治療一類慢性病的特效藥品的研發費用（百萬元）和銷量（萬盒）的統計數據如下：

研發費用（百萬元）

2

3

6

10

13

15

18

21

銷量（萬盒）

1

1

2

2.5

3.5

3.5

4.5

6

（1）求與的相關系數精確到0.01，并判斷與的關系是否可用線性回歸方程模型擬合？（規定：時，可用線性回歸方程模型擬合）；

（2）該藥企準備生產藥品的三類不同的劑型，，，并對其進行兩次檢測，當第一次檢測合格后，才能進行第二次檢測．第一次檢測時，三類劑型，，合格的概率分別為，，，第二次檢測時，三類劑型，，合格的概率分別為，，．兩次檢測過程相互獨立，設經過兩次檢測后，，三類劑型合格的種類數為，求的數學期望．

附：（1）相關系數

（2），，，．

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【題目】一批產品需要進行質量檢驗，檢驗方案是：先從這批產品中任取4件作檢驗，這4件產品中優質品的件數記為．如果，再從這批產品中任取4件作檢驗，若都為優質品，則這批產品通過檢驗；如果，再從這批產品中任取1件作檢驗，若為優質品，則這批產品通過檢驗；其他情況下，這批產品都不能通過檢驗．假設這批產品的優質品率為 ，即取出的每件產品是優質品的概率都為，且各件產品是否為優質品相互獨立．

（1）求這批產品通過檢驗的概率；

（2）已知每件產品的檢驗費用為50元，且抽取的每件產品都需要檢驗，對這批產品作質量檢驗所需的費用記為X(單位：元)，求的分布列及數學期望(保留一位小數)．

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【題目】已知函數．

（Ⅰ）當時，求函數的極值；

（Ⅱ）討論函數的單調性；

（Ⅲ）令，若對任意的，，恒有成立，求實數k的最大整數．

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【題目】在直角坐標系中，動圓與圓外切，且圓與直線相切，記動圓圓心的軌跡為曲線．

(1)求曲線的軌跡方程；

(2)設過定點的動直線與曲線交于兩點，試問：在曲線上是否存在點（與兩點相異），當直線的斜率存在時，直線的斜率之和為定值？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

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