Question

設數列{b_n}{P_n}滿足b₁=3，b_n=3ⁿP_n，且P_n+1=P_n+（n∈N^*）．
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）若存在實數t，使得數列C_n=（b_n-）•+n成等差數列，記數列{C_n•（）^C_n}的前n項和為Tn，證明：3ⁿ•（T_n-1）＜b_n；
（3）設A_n=T_n，數列{A_n}的前n項和為S_n，求證S_n＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）由P_n+1=P_n+（n∈N^*），利用疊加法得P_n=P₁+（P₂-P₁）+（P₃-P₂）+…+（P_n-P_n-1）=，從而有，上述兩式錯位相減，可得，從而求得數列{b_n}的通項公式；
（2）由題意得，，再使用錯位相減法求得，從而可以證明；
（3）將A_n=T_n，化簡，再進行分組可得，進而分別求和，利用放縮法可以證得．
解答：解：（1）由已知得，
∴P_n=P₁+（P₂-P₁）+（P₃-P₂）+…+（P_n-P_n-1）=，
∴
上述兩式錯位相減得：
∴
（2）∵，
∴當且僅當t=0時，數列C_n成等差數列，此時C_n=n（n∈N⁺）
∴
∴
錯位相減得：
∵
∴3ⁿ（T_n-1）＜b_n
（3）=
由可得
S_n=A₁+A₂+A₃+…+A_n
==
點評：本題主要考查疊加法求數列的通項，考查錯位相減求數列的和，數列與不等式的綜合，有一定難度．