Question

設數列{b_n}{P_n}滿足b₁=3，b_n=3ⁿP_n，且P_n+1=P_n+

n

3n+1

（n∈N^*）．
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）若存在實數t，使得數列C_n=（b_n-

1

4

）•

t

n+1

+n成等差數列，記數列{C_n•（

1

2

）^C_n}的前n項和為Tn，證明：3ⁿ•（T_n-1）＜b_n；
（3）設A_n=

1

n(n+1)

T_n，數列{A_n}的前n項和為S_n，求證S_n＜

5

2

．

Answer 1

分析：（1）由P_n+1=P_n+

n

3n+1

（n∈N^*），利用疊加法得P_n=P₁+（P₂-P₁）+（P₃-P₂）+…+（P_n-P_n-1）=1+

1

32

+

2

32

+…+

n-1

3n

，從而有3Pn=3+

1

3

+

2

33

+

3

33

+…+

n-1

3n-1

，上述兩式錯位相減，可得Pn=

5

4

-

2n+1

4•3n

，從而求得數列{b_n}的通項公式；
（2）由題意得，Tn=

1

2

+

2

22

+

3

33

+…+

n

2n

，再使用錯位相減法求得Tn=2-

n+2

2n

，從而可以證明；
（3）將A_n=

1

n(n+1)

T_n，化簡，再進行分組可得(

2

1

-

2

2

+

2

2

-

2

3

+

2

3

-

2

4

+…+

2

n

-

2

n+1

)-(

1

1•2

-

1

2•22

+

1

2•22

-

1

3•23

+…+

1

n2n

-

1

(n+1)2n+1

)，進而分別求和，利用放縮法可以證得．

解答：解：（1）由已知得P1=

b1

3

=1， Pn+1-Pn=

n

3n+1

，
∴P_n=P₁+（P₂-P₁）+（P₃-P₂）+…+（P_n-P_n-1）=1+

1

32

+

2

32

+…+

n-1

3n

，
∴3Pn=3+

1

3

+

2

33

+

3

33

+…+

n-1

3n-1

上述兩式錯位相減得：Pn=

5

4

-

2n+1

4•3n

∴bn=3nPn=

5

4

•3n-

2n+1

4

（2）∵Cn=(bn-

1

4

)•

t

n+1

+n=(

5

4

•3n-

n+1

2

)•

t

n+1

+n=

5t•3n

4(n+1)

+n-

t

2

，
∴當且僅當t=0時，數列C_n成等差數列，此時C_n=n（n∈N⁺）
∴Tn=

1

2

+

2

22

+

3

33

+…+

n

2n

∴2Tn=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

錯位相減得：Tn=2-

n+2

2n

∵

bn

3n

=Pn=

5

4

-

2n+1

4•3n

=

5

4

-

n+ 1 2

2•3n

＞1-

n+ 1 2

2•3n

＞1-

n+2

2n

=Tn-1
∴3ⁿ（T_n-1）＜b_n
（3）An=

1

n(n+1)

Tn=

1

n(n+1)

(2-

n+2

2n

)=

2

n(n+1)

-

n-2

n(n+1)2n

由

2

n(n+1)

=

2

n

-

2

n+1

， 

n+2

n(n+1)2n

=

1

n2n

-

1

(n+1)2n+1

可得
S_n=A₁+A₂+A₃+…+A_n
=(

2

1

-

2

2

+

2

2

-

2

3

+

2

3

-

2

4

+…+

2

n

-

2

n+1

)-(

1

1•2

-

1

2•22

+

1

2•22

-

1

3•23

+…+

1

n2n

-

1

(n+1)2n+1

)=2-

2

n+1

-

1

2

+

1

(n+1)2n+1

=

3

2

-

2

n+1

+

1

(n+1)2n+1

＜

3

2

+

1-2n+2

(n+1)2n+1

＜

3

2

＜

5

2

點評：本題主要考查疊加法求數列的通項，考查錯位相減求數列的和，數列與不等式的綜合，有一定難度．