Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓的左頂點為，右焦點為，為橢圓上兩點，圓.

（1）若軸，且滿足直線與圓相切，求圓的方程；

（2）若圓的半徑為，點滿足，求直線被圓截得弦長的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題（1）確定圓的方程，就是確定半徑的值，因為直線與圓相切，所以先確定直線方程，即確定點坐標：因為軸，所以，根據對稱性，可取，則直線的方程為，根據圓心到切線距離等于半徑得（2）根據垂徑定理，求直線被圓截得弦長的最大值，就是求圓心到直線的距離的最小值. 設直線的方程為，則圓心到直線的距離，利用得，化簡得，利用直線方程與橢圓方程聯立方程組并結合韋達定理得，因此，當時，取最小值，取最大值為.

試題解析：解：（1）

因為橢圓的方程為，所以，.

因為軸，所以，而直線與圓相切，

根據對稱性，可取，

則直線的方程為，

即.

由圓與直線相切，得，

所以圓的方程為.

（2）

易知，圓的方程為.

①當軸時，，

所以，

此時得直線被圓截得的弦長為.

②當與軸不垂直時，設直線的方程為，，

首先由，得，

即，

所以（*）.

聯立，消去，得，

將代入（*）式，

得.

由于圓心到直線的距離為，

所以直線被圓截得的弦長為，故當時，有最大值為.

綜上，因為，所以直線被圓截得的弦長的最大值為.