Question

【題目】如圖，已知中， ，點平面，點在平面的同側，且在平面上的射影分別為，.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若是中點，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由在平面上的射影分別為，可以得出平面，進而可以得到，通過計算可以證明出，利用線面垂直的判定定理可以得到線面垂直，利用面面垂直的判定定理可以證明出平面平面；

（Ⅱ）以為坐標原點，直線，，為，，軸建立空間直角坐標系，分別求出平面的法向量和平面的法向量，利用空間向量的數量積坐標表示，可以求出平面與平面所成銳二面角的余弦值.

（Ⅰ）證明：由條件，平面，∴，

由計算得，，，∴，，

又，∴平面，而平面，

∴平面平面.

（Ⅱ）以為坐標原點，直線，，為，，軸建立空間直角坐標系，

，，，，則，，，平面的法向量為，

設平面的法向量，由，

取，，

設平面與平面所成銳二面角為，則.

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.