Question

【題目】在直角坐標系xOy中，已知點A（a，a），B（2，3），C（3，2）．
（1）若向量 ， 的夾角為鈍角，求實數a的取值范圍；
（2）若a=1，點P（x，y）在△ABC三邊圍成的區域（含邊界）上， =m +n （m，n∈R），求m﹣n的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由A（a，a），B（2，3），C（3，2）．

得 ，

由題意， ，

得2＜a＜3且a ，

∴

（2）解：a=1時，A（1，1），B（2，3），C（3，2）．

作出△ABC三邊圍成的區域如圖：

∵ ，∴（x，y）=m（1，2）+n（2，1），

即x=m+2n，y=2m+n，解得m﹣n=y﹣x，令y﹣x=t，

由圖知，當直線y=x+t過點B（2，3）時，t取得最大值1，故m﹣n的最大值為1

【解析】（1）由已知點的坐標求出 的坐標，再由向量 ， 的夾角為鈍角可得 ＜0，且A、B、C不共線，由此列式求得實數a的取值范圍；（2）畫出△ABC三邊圍成的區域，結合 =m +n 可得x=m+2n，y=2m+n，解得m﹣n=y﹣x，令y﹣x=t，再由線性規劃知識求得m﹣n的最大值．
【考點精析】掌握平面向量的基本定理及其意義是解答本題的根本，需要知道如果、是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量，有且只有一對實數、，使．